Kann Mathematik die Welt erklären?

Schon immer wunderte es mich, wenn Bekannte voll Stolz bekundeten, dass nach ihrer Überzeugung Gott Mathematiker sein müsste, da die von ihm geschaffene Welt wohl nur mathematisch zu erklären sei. Jetzt ergab sich eine Gelegenheit, dieser Annahme auf den Grund zu gehen. Englands beliebtester Mathe-Guru Ian Stewart hat ein Buch vorgelegt, in dem er die Welt anhand von 17 Formeln erklärt. Das Buch heißt: Weltformeln (engl: Seventeen Equations that Changed the World). Ich habe das Buch überflogen und es dann meinen naturwissenschaftlichen Freunden zum Lesen empfohlen. Ich selbst bin beim zweiten Lesen nach der vierten Formel abgelenkt worden.  

Inzwischen stieß ich nämlich auf ein anderes Buch, das die Titelfrage direkter angeht. Es ist Mario Livios Buch mit dem Titel Ist Gott ein Mathematiker? Es erschien schon 2010 und ist wesentlich unterhaltsamer als Ian Stewarts Buch. Es ist eine lockere Geschichte der Mathematik mit vielen Anekdoten und Zitaten. Dabei versucht es der Frage nach dem göttlichen Ursprung der Mathematik auf den Grund zu gehen. Mario Livio (Jahrgang 1945) ist in Rumänien geboren und lebte die meiste Zeit in Israel. Er arbeitet zurzeit in Baltimore, Maryland, als Astrophysiker. Ich kann das Buch sehr empfehlen. Da es fraglich ist, ob ich nochmals zu Ian Stewarts Buch zurückkehre, gebe ich schon einmal zum Besten, wie weit mich Mario Livio brachte. 

Aufstieg der mathematischen Welterklärung 

Den Anfang machte die Geometrie. Die jungen Leute (es waren nur Männer), die sich um 530 vor Chr. in Kroton in Kalabrien im Hause des Pythagoras (570-510 v. Chr.) aufhielten, glaubten, sie hätten das göttliche Prinzip entdeckt, das die Welt zusammenhält. Erst als jemand ihnen klarmachte, dass sie nicht in der Lage seien, die Hypothenuse eines Dreiecks der Kathedenlänge 1 anzugeben, brach ihre Welt zusammen. Die Leute, die darauf bestanden, dass Wurzel 2 keine rationale Zahl sei, also nicht durch Division zweier ganzer Zahlen ermittelt werden könnte, wurden aus ihrer (Glaubens- ) Gemeinschaft ausgeschlossen. Das hatte allerdings nur lokale Wirkung. Denn über Platons Akademie in Athen soll um 300 v. Chr. der Satz gestanden haben: ‚Lasst keinen der Geometrie unkundigen eintreten‘. 

Das Mittelalter, das Euklids Werk aus dem Arabischem ins Lateinische übersetzte, hielt die Geometrie für die einzige gründliche Wissenschaft. Noch Thomas Hobbes (1588-1679) hob lobend hervor, dass nur die Geometrie präzise Definitionen vorausschickt, ehe sie etwas ableitet, also als wahr behauptet. Allmählich trat auch die Algebra einen ähnlichen Siegeszug an. Galileo Galilei (1564-1642) war zwar mehr von seinen Fernrohren als von der Mathematik fasziniert. Er hielt sie dennoch für göttlich. Er geriet mit seiner Kirche in Konflikt, weil er bezweifelte, dass sie die Quelle aller Wissenschaft sei. Johannes Kepler (1571-1630), der Schwabe, schwor auf Zahlenverhältnisse und schöne Kurven.  

Als René Descartes (1596-1650) zeigte, wie man Zahlen (Koordinaten) und Kurven zusammenbringen kann, gewann schließlich die Überzeugung, dass man alles berechnen kann. ‚Discours de la méthode de bien conduire la raison‘ (Abhandlung über die Methode zur Steuerung der Vernunft), so hieß der Titel seines Hauptwerks. Bei Descartes und später bei Newton erreichte der Glaube an die Allmacht der Mathematik seinen Höhepunkt. Für sie war Gott Mathematiker oder zumindest der gleichzeitige Urheber der Mathematik sowie der physikalischen Realität. Beide enthielten Wahrheiten, von denen man glaubte, dass sie direkt von Gott stammten. 

Zweifel an der mathematischen Allmacht 

Zwei der bekanntesten Vertreter der Aufklärung befanden sich schon in Rückzugsgefechten. Euklids Geometrie sei wahr, auch wenn es keine Kreise gäbe. Das meinte David Hume (1711-1776). Für Immanuel Kant (1724-1804) gehörte der euklidische Raum zum ‚a priori-Wissen‘ des Menschen. Seine Nutzung bedarf keiner Erfahrung. Unsere Sinne können nicht anders, als Euklid zu gehorchen. Da Kant außerdem das Walten der Vernunft und die Existenz eines höheren Wesens als vorgegeben ansah, fand er nicht überall in der Welt so viel Zustimmung wie bei uns in Deutschland. Laut Kant steuert uns die Vernunft und nicht wir sie, wie dies Descartes beschrieb.  

Anfang des 19. Jahrhunderts kam als Erstes die Geometrie in Schwierigkeiten. Der Ungar Janos Bolyai (1802-1860), aber auch Carl Friedrich Gauß (1777-1866) und vor allem sein Schüler Bernhard Riemann (1826-1866) zeigten, dass man ohne das von Euklid schon mit Misstrauen verwandte Parallelenaxiom zu ganz anderen Geometrien gelangt. Die sphärische Geometrie, mit der Gauß arbeitete (und nach ihm alle Geodäten der Welt), ist nur eine von vielen nicht-euklidischen Geometrien. Das ließ den Verdacht aufkommen, die Geometrie sei eine menschliche Erfindung.  

Wenn Gott schon keine Geometrie betreibt – so hoffte man – dann betreibt er wenigstens Logik und Arithmetik. Leider ging auch diese Hoffnung verloren. Die Meinung verbreitete sich, dass nicht nur die Geometrie sondern auch die Zahlen Geschöpfe des Menschen seien. Schon Leopold Kronecker (1823-1891) hatte den berühmten Satz in die Welt gesetzt, dass Gott (nur) die natürlichen Zahlen, also die positiven ganzen Zahlen, geschaffen habe, der Mensch aber den Rest. Der Holländer Luitzen Brouwer (1881-1966) vertrat die Meinung, dass auch die natürlichen Zahlen ein Produkt der menschlichen Intuition seien. Sie seien natürliche Denkobjekte. Kleinkinder und Mitglieder einer primitiven Urwaldgemeinschaft lernen sie quasi von selbst, da sie in einer Umwelt voller diskreter Gegenstände aufwachsen. 

Als letztes Teilgebiet verteidigte die Logik ihre göttliche Herkunft. Gottlob Frege (1848-1925) brachte die 2000 Jahre alte Logik in eine strenge mathematische Form. Er verlieh ihr einen Kalkül. Gleichzeitig wollte er die Grundlagen der Mathematik neu legen. In seiner ‚Begriffsschrift‘ unternahm er es, auch die Arithmetik aus der Logik abzuleiten. Er hatte sein grundlegendes Werk gerade zum Druck gegeben, als Bertrand Russell (1872-1970) ihn brieflich darauf hinwies, dass es gedankliche Schnitzer enthielt. Er hatte nicht beachtet, dass sein exakt aussehendes logisches Gebäude widersprüchliche Aussagen zulässt. Man nennt diese Aussagen Paradoxe oder Antinomien. Die bekannteste dieser Antinomien ist der Werbespruch eines Barbiers, der angibt, alle Menschen zu rasieren, die sich nicht selbst rasieren. Hier ist offen, wer den Barbier rasiert, sofern er ein Mann und keine Frau ist. 

Russel und sein Ko-Autor Whitehead lösten zwar dieses Problem, indem sie eine Typentheorie schufen. Für Informatiker gehört dieser Typenbegriff heute zum täglichen Brot. Mathematiker konnten sich jedoch nie so recht damit anfreunden. Eine Welt, die sich nur behandeln lässt, in dem man sie zerstückelt, widerstrebt dem Geist der Mathematik. David Hilbert (1862-1943) glaubte die Mathematik retten zu können, indem er sie auf ein inhaltsloses Spielen mit Formalismen reduzierte. Auch dieser Rettungsversuch schlug fehl, als Kurt Gödel (1906-1978) sich anmaßte nachzuweisen, dass jedes etwas anspruchsvolle formale System Sätze enthält, die weder als richtig oder falsch bewiesen werden können (Unvollständigkeitssatz). Er gab dem bereits wankenden Turm den letzten Stoß. 

Gedanken zum Selbstverständnis der Mathematik 

Im Grunde ist diese Darstellung der Entwicklung mathematischen Denkens sehr ernüchternd. Umso mehr wundert es, dass sogar Zeitgenossen noch von Mathematik in geradezu euphorischer Weise reden. Ein Beispiel ist der Engländer James Jeans (1877-1946), der meinte, dass das Universum von einem Vollblutmathematiker entworfen zu sein scheint. Auch Albert Einstein (1879-1955) wunderte sich, dass die Mathematik, obwohl sie von jeder Erfahrung unabhängig ist, dennoch vorzüglich auf Gegenstände der Welt passt.  

Roger Penrose (Jahrgang 1931) hält es geradezu für ein Wunder, dass sich die reale Welt an die platonische Mathematik hält. Mit platonisch ist die Vorstellung Platons gemeint, dass die Gesetzte der Natur realer sind als die Natur selbst. Die Natur ist bei Platon nur eine temporäre Verkörperung ewiger Gesetze. Nach dieser Definition wird auch der Satz verständlich, mit dem Livio das Selbstverständnis heutiger Mathematiker beschreibt: Mathematiker seien am Sonntag Formalisten (im Sinne von David Hilbert), während der Woche jedoch Platoniker. Eher vorsichtig drückt sich Michael Atiyah (Jahrgang 1929) aus. Der in England geborene und geadelte Libanese umschreibt es so: Das Gehirn des Menschen hat eine Entwicklung durchlaufen, die es ihm ermöglichte, die Welt zu erschließen. Warum sollte es nicht auch die Mathematik entwickelt haben, die hierfür so auffallend gut geeignet ist? 

Zu den Autoren, die Mathematik als reines Menschenwerk ansehen, gehört der Informatikern und Ingenieuren sehr bekannte Richard Hamming (1915-1996). Er hielt die Erklärungsmacht der Mathematik für eine Illusion. Es gäbe so viel, was die Mathematik nicht erkläre. Das überträfe bei Weitem das, was sie erkläre. Laut Livio werden immer wieder Beispiele zitiert, aus denen geschlossen wird, dass aus mathematischen Formeln neue physikalische Phänomene vorhergesagt werden konnten. Das berühmteste Beispiel sind Maxwells Gleichungen, die zur Folge gehabt hätten, dass Heinrich Hertz elektrische Wellen entdeckte. Ist es nicht eher seine Vorstellung von elektrischem Strom und magnetischen Feldern, also seine Physik, die die Wellennatur beinhaltete, als die mathematische Struktur der von ihm angegebenen Formeln? Eine ähnliches Situation besteht bei den Higgs-Teilchen. Wenn die Physik Erfolge hat, indem sie nach Symmetrien sucht, hat das nichts mit Mathematik zu tun. Symmetrien gibt es auch in der Biologie, d.h. Formen, die auf aufeinander abgebildet werden können. Als jüngsten Autor zitiert Livio den schwedischen Kosmologen Max Tegmark (Jahrgang 1967). Von ihm stammt der Satz: ‚Das Universum wird nicht durch Mathematik beschrieben, es ist Mathematik‘.  

Einordnung und Bewertung 

Es ist keine Frage, dass Mathematik ein enorm erfolgreiches Werkzeug ist. Das gilt aber auch für Fernrohre und Mikroskope, Spaten und Hämmer. Daraus zu folgern, dass der zu beschreibende Gegenstand selbst mathematischer Natur ist, erscheint abstrus. In der langen Geschichte der Menschheit wurden Tiere (Stiere, Schlangen) vergöttert, aber auch Himmelskörper (Sonne, Fixsterne) und Naturerscheinungen (Donner, Erdbeben). Werkzeuge (Hammer, Sichel) erreichten diesen Status nur selten. Eine naturliche Sprache (Arabisch, Hebräisch) kann für heilig gehalten werden, wenn wichtige Offenbarungen in ihnen verfasst sind. Die Mathematik hat denselben Nimbus. Manche Autoren halten sie nämlich für eine Sprache, ja für die universelle Sprache der Menschheit. Was Griechen, und vor ihnen Ägypter und Inder, mittels dieser Sprache erdachten, hat sich über die ganze Welt verbreitet. 

Der von Livio öfters zitierte Mathematiker Stephen Wolfram (Jahrgang 1959) meint, dass die Programmiersprachen eine ähnliche Rolle spielen könnten wie die Mathematik. Man kann mit ihnen die Welt beschreiben, ja sogar ganz neue Welten schaffen. Die Programmierung als solche  ̶  ihre Methoden und Sprachen  ̶   hat ein Potenzial, das dem der Mathematik entspricht, ja vielleicht sogar darüber hinausgeht. Das gilt auch für die didaktischen Möglichkeiten, die sich bieten, um die Welt des Lebendigen zu erklären. Um ähnlich standardisiert zu werden wie die Mathematik, dafür besteht jedoch kaum noch eine Chance. Viele Programmierer hatten das Erlebnis, dass ihr Programm auch Fälle und Situationen richtig behandelte, an die sie beim Schreiben des Programms nicht gedacht hatten. Ich kann mir jedoch keinen Programmierer vorstellen, der daraus ableitet, dass seine (oder irgendwelche anderen) Programme göttlichen Ursprungs seien. 

Durch das ganze Buch taucht immer wieder die Frage auf, ob Mathematiker ihre Erkenntnisse entdecken oder erfinden würden. Wenn man entdecken sagt, meint man, dass die Phänomene bereits vorher existierten. Beim Erfinden treten sie neu in die Welt. Die Antwort, die Livio gibt, ist etwas an den Haaren herbeigezogen. Das Konzept der Primzahlen sei eine Erfindung. Alle Sätze über Primzahlen seien Entdeckungen. Es ist gut, dass Informatiker dieses Definitionsproblem nicht haben, an dem Mathematiker so zu leiden scheinen. Trotzdem sind sich viele Informatiker immer noch nicht im Klaren darüber, dass es ihre Chance und ihre Aufgabe ist, ihr Fachgebiet durch Erfindungen technisch weiterzubringen. 

NB: Dass Livio eine ähnliche Auffassung über Mathematik vertritt, wie ich sie in diesem Blog schon öfters ausgedrückt habe, dürfte dem aufmerksamen Leser nicht entgangen sein. Außerdem möchte ich bemerken, dass der Idealismus Kantscher Prägung zumindest bei einem Beitragenden dieses Blogs auch heute noch hoch im Kurs steht.

Am 29.1.2015 schrieb Hartmut Wedekind:

Übernehmen Sie doch Lorenzens Aufsatz komplett, damit jeder sich seine eigenen Meinung bilden kann. Immerhin ist der Aufsatz auch wegen seiner profunden Kritik einige Klassen besser als das  wenig aufregende Buch von Livio, das eigentlich jeder historisch  gebildete Mathematiker mit ein bisschen Fleiß schreiben kann.