Mathematik – Gebieterin oder Gehilfin der Physik?

In Diskussionen, die ich in letzter Zeit führte, tauchte wiederholt die Frage nach der Rolle der Mathematik in der Physik auf. Es geht unter anderem darum, was Priorität hat,  ̶  also mehr Bedeutung, mehr Aussagekraft  ̶  die Phänomene, die physikalischen Gesetzen zugrunde liegen, oder ihre mathematische Beschreibung. Anders ausgedrückt, ist Mathematik die Grundlage (oder das Fundament) , auf der die Physik beruht, oder ist sie (nur) ein Hilfsmittel zu ihrer Beschreibung? Ist sie  ̶  bildlich gesprochen  ̶  Gebieterin oder Gehilfin, Herrin oder Dienerin? Für mich ist die Antwort relativ klar. Ich weiß, dass nicht alle Leute so denken. Deshalb versuche ich im Folgenden meine Gedanken zu dem Thema darzulegen, selbst auf die Gefahr hin als Wissenschaftstheoretiker beschimpft zu werden. Ich werde auch das verkraften, nachdem mir bereits vor Jahren der Titel eines Querdenkers verliehen wurde. Wenn bei meinen Ausführungen die Weltsicht eines ehemaligen Ingenieurs durchschimmert, ist dies nicht Zufall sondern eher Absicht. Betrachten wir kurz die Begriffe.

Physikalische Gesetze und mathematische Algorithmen

Ein physikalisches Gesetz drückt Zusammenhänge aus zwischen Zuständen und deren Änderungen in einem physikalischen System einerseits, und physikalischen Einflüssen andererseits. Die Einflüsse, die gemeint sind, sind Veränderungen in Bezug auf physikalische Größen (Parameter, Variablen) wie Helligkeit, Temperatur, Druck, Feuchtigkeit, elektrische Spannung, magnetische oder mechanische Kraft usw. Nur solche physikalischen Phänomene können als Gesetze definiert werden, die auf wiederkehrenden Beobachtungen basieren oder durch wiederholbare Messungen (z.B. Experimente) belegt sind. Diese müssen so zuverlässig und genau sein, dass daraus Vorhersagen gemacht werden können. Beispiel für wiederkehrende Phänomene sind Sonnen- und Mondfinsternisse. Nicht vorhersagbar sind Vulkanausbrüche und Windbewegungen.

Physikalische Gesetze können in Worten ausgedrückt werden oder durch einen mathematischen Apparatismus beschrieben werden. Als Beispiel sollen die Fallgesetze dienen. Manche glauben, dass die Formel

s = ½ g*t²

mit s als Strecke, t als Zeit und g als Gravitationskonstante bereits alles ausdrückt. Dazu ist zu sagen, dass g keine Konstante ist, sondern vom Ort der Messung abhängt. Es fehlt die Aussage, dass schwere und leichte Körper gleich schnell fallen und dass die Bewegung in Richtung Erdmittelpunkt erfolgt. Dass kein Luftwiderstand angenommen ist, wird meistens auch unterschlagen.

Der Grund, warum so vieles fehlt, ist nicht nur die Tatsache, dass es hierfür keine geschlossene Formel gibt. Meist sind es komplexe Berechnungen, die zum Ziel führen. Nicht selten handelt es sich dabei um iterative Verfahren. Fast immer geht es  ̶   mathematisch gesehen  ̶   um Abbildungen zwischen Mengen, Funktionen genannt. Der genauen Berechnung der zugehörigen Werte dienen Algorithmen. Es gibt übrigens für die gleiche Funktion meist mehrere Algorithmen. Außerdem haben Informatiker Hunderte verschiedener Notationen (meist Sprachen genannt) erfunden, um Algorithmen zu spezifizieren. Da nur ein geringer Teil der physikalischen Gesetze als geschlossene Formeln ausgedrückt werden kann, betrachte ich einen Algorithmus als den Normalfall. Ein 2500 Jahre altes (leider nicht aus der Physik stammendes) Beispiel eines einfachen Algorithmus ist die Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier ganzer Zahlen, auch Euklidischer Algorithmus genannt. Die wichtigsten Elemente eines jeden Algorithmus sind Fallunterscheidungen und Iterationen. Sehr oft kommt vor, dass man gar keinen Algorithmus kennt oder dass der exakte Algorithmus zu komplex ist. Dann beschränken sich Physiker oft auf die Angabe gewisser Eigenschaften, die eine exakte Beschreibung erfüllen muss. Diese Aussagen nennt man oft Axiome. Genau genommen sind es Bruchstücke einer (mosaik-artigen) Spezifikation. Je weniger Axiome angegeben werden, umso vager ist eine Definition. Es gibt viele Objekte, die sie erfüllen. Werden zuviele angegeben, kann es sein, dass es in unserer (dreidimensionalen) Welt keine Objekte gibt, die alle diese Axiome gleichzeitig erfüllen. In der Informatik stehen axiomatische Definitionen bei Akademikern hoch im Kurs wegen ihrer Prägnanz. Bei Praktikern spielen sie eine untergeordnete Rolle, weil man nie weiß, ob sie vollständig sind. Im kollektiven Gedächtnis hat sich Tony Hoares axiomatische Definition von Pascal [2] auf weniger als 50 Seiten festgesetzt. Die Wiener Definition von PL/I mit Hilfe der Interpretation durch einen abstrakten Automaten umfasste dagegen rund 1100 Seiten. Der Unterschied kam weniger vom Umfang der beiden Sprachen  ̶   wie es die Folklore verbreitete  ̶   sondern von dem, was Hoare alles nicht definiert hatte. Was davon absichtlich geschah oder unabsichtlich, das sei dahingestellt. Ob es hier Parallelen zwischen Physik und Informatik gibt, weiß ich nicht. Vorstellen kann ich es mir.

Diskussionsfragen im Detail

Nach der Klärung der relevanten Begriffe nun zurück zu der oben erwähnten Diskussion. Eine Frage ist, was war zuerst, das Phänomen oder das explizierte Gesetz, meist in Form eines Algorithmus, oder wo der nicht verfügbar ist, in Form von Axiomen? Vermutlich doch das Phänomen. Der Algorithmus ist immer Menschenwerk. Die Axiome auch. Sie wurden nachträglich erfunden, nicht entdeckt. Sie sind nicht inhärent. Vor allem sind sie nicht der Grund, warum das Gesetz gilt, nicht die Ursache. Dafür wird eine Theorie benötigt. Theorien kann jedoch die Mathematik nicht liefern, obwohl alle mit Mathematik sich beschäftigenden Physiker (und Informatiker) sich als Theoretiker bezeichnen.

Es folgt die Frage, wem ist mehr zu trauen? Vermutlich doch der Beobachtung, sofern sie sorgfältig gemacht und mögliche Fehlerquellen eliminiert wurden. Dass Algorithmen nicht immer fehlerfrei sind, lernt jeder Informatiker sehr schnell. Wie kann man mehr über die Natur lernen? Wohl eher durch präzisere Beobachtungen und Messungen als durch Analyse der mathematischen Beschreibung. Nur bei Messungen können Schwankungen festgestellt werden, die vorher nicht auffielen. Sind diese von wiederkehrender Natur, muss das Gesetz abgeändert werden. Es wird meistens eine zusätzliche Fallunterscheidung nötig sein.

Es sei noch einmal auf das Fallgesetz als einem der bekanntesten Naturgesetze hingewiesen. Die angegebene Formel drückt nicht nur einen Bruchteil unseres physikalischen Wissens über die gegenseitige Anziehung (Gravitation) zwischen zwei Körpern aus. Sie ist eine Näherungsformel, abgeleitet aus Newtons Gesetz und Messungen, die von Galilei und seinen Nachfolgern durchgeführt wurden. Warum ist es so schwer, die Berechnung auf mehr als zwei sich anziehende Körper auszudehnen, den Normalfall der Himmelsmechanik (Mehrkörper-Problem)? Vielleicht sollten wir uns die Welt als riesigen mechanischen Analogrechner vorstellen. Das Problem der Digitalisierung, das Informatikern neben der Programmierung so viele Aufträge verschafft, könnte umgangen werden, gelänge es diesen Analogrechner in mikroskopischem Maßstab nachzubauen. Der könnte dann nicht nur Schülern und Studenten dabei helfen Physik zu betreiben.

Spezifikation im Vorn- oder Nachherein

Im Gegensatz zu den Produkten menschlicher Ingenieure gibt es von der Natur keine Vorab-Spezifikation. Nirgends steht geschrieben, was die eigentliche Absicht des Schöpfers war. Das macht die Analyse so schwierig. Es ist wie bei Computern und Software-Systemen, die unsere Kollegen im ehemaligen Ostblock ohne Entwurfsdokumentation erwarben. Sie konnten nur Reverse-Engineering machen. Sie entwickelten darin sogar gewisse Fertigkeiten, bessere als wir Westler besaßen. Gegenüber der Natur sind Physiker und andere Naturwissenschaftler in genau dieser Rolle.

Viele Leute glauben daran, dass durch Analyse von Beschreibungen (oder Spezifikationen) auch Neues entdeckt werden kann. Abgesehen davon, dass man zu neuen Fragen an das Produkt (oder die Natur) angeregt wird, kann man Fehler in der Beschreibung aufdecken, ohne das Produkt selbst zu sehen. Dank der Wiener formalen Definition von PL/I sollen 80 Fehler ans Tageslicht gefördert worden sein. Das ist übrigens nur ein Bruchteil der Fehler, die von den Leuten gefunden wurden, die Compiler bauten. Solche Definitionsfehler können nicht behandelte Fälle sein, Grenzüberschreitungen oder Widersprüche. In der Natur gibt es keine oder nur harmlose Fehler, sonst würde sie nicht funktionieren. Es gibt jede Menge Redundanz und schlechte Lösungen, die meist nicht lange überlebten. Manche (Konstruktions-) Fehler in der Natur wurden schon vor Jahrmillionen eliminiert. Wenn wir die Natur beschreiben wollen, müssen die noch verbliebenen Fehler auch in der Beschreibung enthalten sein, sonst ist diese nicht vollständig.

Manchmal wird (im allegorischen Sinne) davon gesprochen, dass Gott Mathematiker sei oder über exzellente mathematische Fähigkeiten verfüge. Sonst hätte er das Weltall nicht erschaffen können. Unabhängig davon, ob man an einen göttlichen Schöpfer glaubt oder nicht, ist diese Annahme zwar schmeichelhaft aber gewagt. Welche mathematische Formel (chemische Formeln sind hier nicht gemeint) liegt etwa Aminosäuren zugrunde, welche den Mikroben (Viren und Bakterien)? Welche dem Vulkanismus, welche den Stürmen und Winden, den Sandkörnern, den Wassertropfen und den Tsunamis? Wenn es sie gäbe, wo sind sie?

Beschränkungen der mathematischen Sichtweise

Mit Mathematik kann man nur die Struktur eines Problems wiedergeben, nicht seine Bedeutung. Mathematiker hassen Semantik, wie der Teufel das Weihwasser. Der sehr bekannte Physiker Richard Feynman [1] sagt es so:

Der Physiker verbindet [im Gegensatz zum Mathematiker] mit all seinen Sätzen eine Bedeutung - ein äußerst wichtiger Umstand, den Physiker, die von der Mathematik her kommen, oft nicht richtig einschätzen.

Von der Mathematik kommende Informatiker hängen noch 50 Jahre nach Claude Shannon dem rein mathematischen Informationsbegriff der Nachrichtentechnik an. Alle längst vorgeschlagenen Alternativen werden ignoriert, weil sie nicht unabhängig vom individuellen Empfänger sind.

Die Welt der Physiker (wie die der Ingenieure) besteht nicht aus reinen Zahlen. Sie haben es fast immer mit Größen zu tun, denen eine Einheit oder Dimension zugeordnet ist. Es sind Meter, Gramm und Sekunden oder Ohm, Volt und Ampère. Das in der Mathematik so elementare Kommutativgesetz gilt nicht. Fünfzig Meter weit 10 Kilo zu tragen ist nicht dasselbe wie 50 Kilo über 10 Meter.

Jeder der physikalische Formeln benutzt, sollte sich klarmachen, von welchen Fehlern sie behaftet sein können. Es können Fallunterscheidungen fehlen, d.h. ihr Gültigkeitsbereich wird falsch gesehen. Es können aber auch Dimensionsfehler enthalten sein in dem Sinne, dass Äpfel und Birnen addiert werden, oder dass die Größenordnungen nicht passen, etwa dass das Vielfache 10 hoch 15 statt 10 hoch 25 einer Einheit gemeint war.

Stärken der Mathematik als Werkzeug

Wie jedes Fachgebiet so benötigt auch die Physik diverse Werkzeuge, will sie mit Laien oder unter Fachkollegen kommunizieren. Bei Laien, d.h. Schülern und Studenten, aber auch bei Experten stehen Filme hoch im Kurs. Sie können Abläufe visualisieren, sogar solche die es in der Natur gar nicht gibt. Erinnern möchte an den Tübinger Astronomen Hans Ruder, mit dessen ‚Einsteinfahrrad‘ man die Auswirkungen der Relativitätstheorie hautnah erleben kann. Hier gilt: Je toller die Grafiken, umso aufwendiger ist die Mathematik dahinter. Es handelt sich dabei meistens um analytische Geometrie, ein sehr reifes und anspruchsvolles Gebiet der Mathematik. Bei der Kommunikation mit Fachkollegen ist die Mathematik hilfreich. Nochmals zitiere ich Feynman [1]:

[Es ist] ein Jammer, dass es ausgerechnet Mathematik sein muss, und dass Mathematik manchen Leuten so schwerfällt. … Die Physik lässt sich in keine andere Sprache übersetzen.

Natürlich lässt sich nicht die ganze Physik in Mathematik übersetzen. Sonst bestünde ja kein Unterschied mehr; sie wären äquivalent. Es handelt sich vielmehr um eine partielle Abbildung. Das was geht, wird abgebildet; der Rest bleibt außen vor. Wer meint, Physik sei nichts als Mathematik, fällt leicht der Versuchung anheim zu glauben, man könnte die Welt demnächst ganz in Computern simulieren. Es ist dies derselbe Denkfehler, den KI-Anhänger machen, wenn sie behaupten, man könne menschliches Leben oder zumindest die menschliche Psyche per Computer nachbilden.

Physikalische Zusammenhänge auch mathematisch zu erfassen, soweit dies geht, ist äußerst nützlich. Darauf zu verzichten wäre völlig falsch. Auch wenn die Mathematik vielen Leuten als schwer erscheint, wir haben nichts Besseres. Ohne Mathematik kann es keine Anwendungen der Physik in der Technik geben. Die Technik, sei es im Auto, Flugzeug oder im medizinischen Gerät benutzt nur die Untermenge von Physik, die man beherrscht. Man beherrscht Physik, wenn man ihre Zustandsänderungen – wie oben ausgeführt  ̶  reproduzieren kann. Da hilft es, wenn sich die Zusammenhänge mathematisch ausdrücken lassen. Eine Theorie, also eine Aussage, warum etwas funktioniert, benötigt der Ingenieur zunächst nicht. Sie kann noch 50 Jahre später nachgeliefert werden.

Konkret: Mathematische Physik und Numerik

Als eigene Disziplin hat sich die Mathematische Physik etabliert. Sie befasst sich mit der mathematisch strengen Behandlung von Modellen physikalischer Phänomene. Die Übergänge zur theoretischen Physik, wo die Anforderungen an mathematische Strenge meist etwas schwächer gehalten werden, sind dabei fließend. Diese Aussagen stammen unkommentiert aus Wikipedia.

Von enormer praktischer Bedeutung ist die numerische Mathematik, kurz Numerik genannt. Ihr Aufgabengebiet ist die Konstruktion und Analyse von Algorithmen. Sie hat enge Berührungspunkte mit der Informatik. Vielfach überschneidet sie sich mit dieser. Während Mathematiker Algorithmen in abstrakter Zahlendarstellung untersuchen, müssen Informatiker berücksichtigen, dass alle Computer nur mit begrenzten Zahlenbereichen arbeiten. Typische Probleme sind

• Anwendungen von Vektor- und Matrixdarstellungen
• Lineare und nicht-lineare Gleichungssysteme
• Interpolation und Approximation von Funktionen
• Numerische Integration (Lösung von Differentialgleichungen)

Verfahren und Algorithmen, die hier eine Rolle spielen (und mit denen ich vor 50 Jahren selbst heftig zu kämpfen hatte) tragen Namen wie Gauß-Seidel (für lineare Gleichungen) und Runge-Kutta (für Differentialgleichungen). Später konnte ich zusehen wie Kollegen sich an Navier-Stokes-Gleichungen die Zähne ausbissen.

Zusätzliche Referenzen:

1. Feynman, R. P.: Vom Wesen physikalischer Gesetze, Piper 1993
2. Hoare, C.A.R., Wirth, N.: An axiomatic definition of the programming language PASCAL. ETH Zürich 1972